Դաս 03բ| Վիետի թեորեմը


 Քառակուսի հավասարման երկու կողմը բաժանենք ավագ անդամի գործակցի վրա։ Այն կունենա հետևյալ տեսքը․

{jatex}x^2+px+q=0{/jatex}

Այն կանվանենք բերված տեսքի քառակուսի հավասարում։

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ այն ունի երկու արմատ։

Թեորեմ (Վիետ)։ Բերված տեսքի քառակուսի հավասարումը, որն ունի երկու արմատ, արմատների գումարը հավասար է {jatex}x{/jatex} փոփոխականի գործակցին՝ վերցրած հակառակ նշանով, իսկ արտադրյալը՝ ազատ անդամին։

Ապացույց։ Դիցուք ունենք՝

{jatex}x^2+px+q=0{/jatex}

Տարբերիչը կստացվի՝ {jatex}D=p^2-4q>0{/jatex}, քանի որ դիտարկում ենք երկու արմատ ունենալու դեպքը։

{jatex}\large x_1= \frac{-p-\sqrt D}{2}, \quad x_2=\frac {-p+ \sqrt D}{2}{/jatex}

Ընդհանրացնելով {jatex}D=0{/jatex} դեպքի հետ, կունենանք {jatex}x_1=x_2=\large \frac{-p}{2}{/jatex}

Գտնենք արմատների գումարը և արտադրյալը․

{jatex}x_1+x_2= {  \large \frac{-p-\sqrt D}{2}+\frac{-p+\sqrt D}{2}=\frac{-p- \sqrt D -p + \sqrt D}{2}=\frac{-2p}{2}   }=-p{/jatex}

{jatex}x_1 \cdot x_2 = \large \frac{-p-\sqrt D}{2} \cdot \frac{-p+\sqrt D}{2}=\frac{(-p)^2- \left( \sqrt D \right)^2}{4}={/jatex}

{jatex}\large =\frac {p^2- \left( p^2-4q \right )}{4}= \frac {p^2-p^2+4q}{4}=q{/jatex}

Թեորեմն ապացուցված է։

Այն կարելի է ձևակերպել այսպես․

Եթե {jatex}x_1, x_2{/jatex} թվերը {jatex}x^2+px+q=0{/jatex} քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա {jatex}x_1+x_2=-p, x_1 \cdot x_2=q{/jatex}:

 Հաշվի առնելով, որ {jatex}ax^2+bx+c=0{/jatex} հավասարումը կանոնական տեսքի բերելիս ստացվում է {jatex}\large x^2+ \frac {b}{a}x+ \frac {c}{a}=0{/jatex}, կունենանք Վիետի թեորեմի ևս մեկ ձևակերպում․

Եթե {jatex}x_1, x_2{/jatex} թվերը {jatex}ax^2+bx+c=0{/jatex} քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա {jatex} \large x_1+x_2=-\frac ba, x_1 \cdot x_2=\frac ca{/jatex}:

Ստուգումով ապացուցվում է նաև հակառակ պնդումը․

Թեորեմ (Վիետի հակառակ թեորեմը)։ Եթե {jatex}j, k{/jatex} թվերն այնպիսին են, որ {jatex}j+k=-p, j \cdot k =q{/jatex}, ապա այդ թվերը նաև {jatex}x^2+px+q=0{/jatex} հավասարման արմատներն են։

 Ապացույց։ Այդ հավասարումը ներկայանում է նաև այս տեսքով․

{jatex}x^2-(j+k)x+jk=0{/jatex}

Տեղադրելով {jatex}x{/jatex}-ի փոխարեն {jatex}j{/jatex} կամ {jatex}k{/jatex}, կունենանք.

{jatex}j^2-(j+k)j+jk=j^2-j^2-jk+jk=0{/jatex}

{jatex}k^2-(j+k)k+jk=k^2-jk-k^2+jk=0{/jatex}

Ուրեմն {jatex}j, k{/jatex} թվերը այդ հավասարման արմատներն են։ Թեորեմն ապացուցված է։




Developed by ARI Soft.

 

Ուղարկել էջը

Подпишитесь
на наш канал