Դիտարկենք մի հաջորդականություն, որի առաջին անդամը 7 է, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդը ստացվում է նախորդին 5 գումարելով։
{jatex}7; 12; 17; 22; 27; 32; 37; ...{/jatex}
Այդպիսի հաջորդականությունը համարվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
Այն հաջորդականությունը, որի ցանկացած անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին գումարված նույն հաստատուն գումարելին, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
Այդ հաստատուն գումարելին անվանում են թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերություն և նշանակում են {jatex}d{/jatex} տառով։
Այսինքն, եթե {jatex}\left( a_n \right){/jatex}-ը թվաբանական պրոգրեսիա է, ապա տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը․
{jatex}a_2=a_1+d; a_3=a_2+d; a_4=a_3+d; ...{/jatex}
Այսպիսով, յուրաքանչյուր {jatex}n{/jatex} բնական թվի համար կունենանք
{jatex}a_{n+1}=a_n+d{/jatex}
Այդ դեպքում կունենանք․
{jatex}d=a_{n+1}-a_n{/jatex}
այսինքն` թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը կարելի է գտնել, եթե յուրաքանչյուր անդամից հանենք նրա նախորդ անդամը։
Եթե պրոգրեսիայի առաջին անդամը {jatex}a_1{/jatex}-ն է, իսկ տարբերությունը {jatex}d{/jatex}-ն, ապա
{jatex}a_2=a_1+d{/jatex}
{jatex}a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d{/jatex}
{jatex}a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d{/jatex}
{jatex}a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d{/jatex}
Այս ուսումնասիրությունից հետո դժվար չէ նկատել, որ {jatex}a_n{/jatex}-ը ստանալու համար {jatex}a_1{/jatex}-ին գումարվել է {jatex}n-1{/jatex} անգամ {jatex}d{/jatex} թիվը։ Այսպիսով կունենանք․
{jatex}\large a_n=a_1+(n-1)d{/jatex}
Ստացանք թվաբանական պրոգրեսիայի ընդհանուր անդամի բանաձևը։
Թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է իր նախորդի և հաջորդի թվաբանական միջինին՝
{jatex}a_n=\Large \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}{/jatex}, որտեղ {jatex}n \in N ; n \geq 2{/jatex}:
Ապացուցենք այս հատկությունը․
{jatex}\large \frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\frac{a_1+(n-2)d+a_1+nd}{2}={/jatex}
{jatex}=\large \frac {2a_1+(2n-2)d}{2}=\normalsize a_1+(n-1)d=a_n{/jatex}
Նման ձևով ապացուցվում է հետևյալ բանաձևը
{jatex}\large a_n = \Large \frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}{/jatex}, որտեղ {jatex}n \in N, k \in N, k<N, n \geq 2{/jatex}:
Շարունակելու համար մուտք գործեք, վերցրեք թուղթ և գրիչ։
