Դիտարկենք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին {jatex}n{/jatex} անդամները՝
{jatex}a_1, a_2, a_3, ... , a_{n-2}, a_{n-1}, a_n{/jatex}։
Այստեղ մենք {jatex}S_n{/jatex}-ով կնշանակենք նրանց գումարը․
{jatex}S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n{/jatex}:
Գտնենք այս գումարը հաշվելու բանաձևը։ Այս գումարը գումարելիների տեղափոխությունով ներկայացնենք երկու ձևով․
{jatex}S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n{/jatex}
{jatex}S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_3+a_2+a_1{/jatex}
Այժմ գումարենք այս հավասարությունները։ Կունենանք․
{jatex}2S_n=\left( a_1+a_n \right) + \left( a_2 +a_{n-1} \right) + ... + \left( a_n + a_1 \right){/jatex}
Հաշվի առնելով թվաբանական պրոգրեսիայի ընդհանուր անդամի բանաձևը, փակագծերի ներսի արժեքները կլինեն իրար հավասար։ Կունենանք․
{jatex}2S_n=n \cdot \left( a_1 + a_n \right){/jatex}:
Բաժանելով հավասարության երկու կողմը 2-ի, կունենանք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին {jatex}n{/jatex} անդամների գումարի բանաձևը․
{jatex}S_n { \Large =\frac {a_1+a_n}{2}} \cdot n{/jatex}
Տեղադրելով {jatex}a_n{/jatex}-ի համար ընդհանուր անդամի բանաձևը, կունենանք
{jatex}S_n { \Large =\frac {a_1+a_1+(n-1)d}{2}} \cdot n{/jatex}
կամ
{jatex}S_n { \Large =\frac {2a_1+(n-1)d}{2}} \cdot n{/jatex}
Այսպիսով ստացանք առաջին {jatex}n{/jatex} անդամների գումարը հաշվելու երկու բանաձև։
Շարունակելու համար մուտք գործեք, վերցրեք թուղթ և գրիչ։