Ինչպես արդեն գիտենք, երկրաչափական պրոգրեսիա դասից,
{jatex}b_1, b_2, ... , b_n, ...{/jatex}
երկրաչափական պրոգրեսիայում տեղի ունեն
{jatex}b_{n+1}=b_n q, \quad b_n \neq 0, q \neq 0{/jatex}
պայմանները․
Բերենք օրինակ․
{jatex}1,\large \frac 13, \frac 19, \frac 1{27}, ... , \left( \frac 13 \right)^{n-1}, ...{/jatex}
Այս դասում կդիտարկենք մի հետաքրքիր դեպք, երբ {jatex}-1<q<1{/jatex}:
Նշված դեպքում պրոգրեսիան կոչվում է անվերջ նվազող։
Վերցնենք, օրինակ, քառակուսիներ, որոնց կողմերը համապատասխանաբար հավասար են
{jatex}1, \large \frac 12, \frac 1{2^2}, \frac 1{2^3}, ..., \frac 1 {2^{n-1}}, ...{/jatex}
Նրանց մակերեսները կլինեն հավասար հետևյալ հաջորդականության թվերին․
{jatex}1, \large \frac 14, \frac 1{4^2}, \frac 1{4^3}, ... , \frac 1{4^{n-1}}, ...{/jatex}
Այս երկու դեպքերը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի օրինակներ են։
Բերենք ևս մեկ օրինակ։ Վերցնենք միավոր կողմ ունեցող քառակուսի։ Այն տրորենք երկու հավասար մասերի, որից հետո կտորներից մեկը ևս տրոհենք երկու հավասար մասի, որից հետո ստացված կտորներից մեկը ևս տրոհենք երկու հավասար մասի և այդպես շարունակ։
Բնականաբար ստացված կտորների մակերեսների գումարի համար կունենանք․
{jatex}\large \frac 12 +\frac 14 + \frac 18+ ... =1{/jatex}
Կատարենք նշանակում․
{jatex}S_n=\large \frac 12 + \frac 14 + ... + \frac 1{2^n}{/jatex}
Ըստ երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևի․
{jatex}S_n = \frac 12 \cdot \Large \frac{1-\left( \frac 12 \right)^n}{1-\frac 12}=1-\frac 1{2^n}{/jatex}
Այստեղից երևում է, որ անվերջ գումարը գերազանցում է բոլոր {jatex}1-\frac{1}{2^n}{/jatex} տեսքի թվերը, բայց չի կարող գերազանցել {jatex}1{/jatex} թիվը։
Ընդհանուր դեպքը դիտարկելիս կունենանք
{jatex}S_n=b_1 \large \frac {1-q^n}{1-q}=\frac{b_1}{1-q}-\frac{b_1q^n}{1-q}{/jatex}
Անվերջ {jatex}S{/jatex} գումարը մեծ է բոլոր {jatex}S_n{/jatex} թվերից, բայց չի կարող գերազանցել {jatex}\large \frac{b_1}{1-q}{/jatex} թիվը, որքան էլ մեծ {jatex}n{/jatex} վերցնենք, որը հնարավոր է, եթե {jatex}S=\large \frac{b_1}{1-q}{/jatex}։
Ստացանք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը․
{jatex}S=\large \frac{b_1}{1-q}{/jatex}
