Քառակուսի հավասարում են անվանում {jatex} ax^2+bx+c=0{/jatex} տեսքի հավասարումները, որտեղ {jatex}x{/jatex}-ը փոփոխականն է, իսկ {jatex}a, b, c {/jatex}-ն որոշակի թվեր են, ընդ որում, {jatex}a \neq 0{/jatex}:
Բերենք օրինակներ․
{jatex} 4x^2+6x+7=0 {/jatex}
{jatex}-9x^2+ 4x+5=0 {/jatex}
Նշենք, որ {jatex}ax^2+bx+c=0{/jatex} քառակուսի հավասարման մեջ {jatex} a{/jatex} թիվը կոչվում է ավագ անդամի, կամ առաջին գործակից, {jatex} b{/jatex} թիվը՝ միջին անդամի, կամ երկրորդ գործակից, {jatex}c {/jatex} թիվը՝ ազատ անդամ։
Եթե {jatex}ax^2+bx+c=0{/jatex} քառակուսի հավասարման մեջ {jatex}b, c{/jatex} թվերից գոնե մեկը 0 է, հավասարումը կաչվում է թերի քառակուսի հավասարում։
Դիտարկենք այդպիսի դեպքեր։
1․ {jatex}ax^2=0{/jatex}
Քանի որ {jatex}a \neq 0{/jatex}, ապա կունենանք {jatex}x^2=0{/jatex}: Լուծումը կլինի {jatex}x=0{/jatex} թիվը։
2․ {jatex}ax^2+c=0 \quad c\neq 0{/jatex}
Կունենանք {jatex}ax^2=-c{/jatex}
{jatex}x^2=-\large \frac ca{/jatex}
Եթե {jatex}\large -\frac ca >0{/jatex}, ապա հավասարումը կունենա երկու լուծում՝ {jatex}x_{1,2} \large = \pm \sqrt {-\frac ca}{/jatex}
Եթե {jatex}\large -\frac ca <0 {/jatex}, ապա հավասարումը արմատներ չի ունենա։
3․ {jatex}ax^2+bx=0 \quad b \neq 0{/jatex}
{jatex}x(ax+b)=0{/jatex}
Լուծելով այս հավասարումը, կունենանք․
{jatex}x=0{/jatex} կամ {jatex}ax+b=0 \Leftrightarrow x \large = - \frac ba \quad ( a \neq 0 ){/jatex}
Այժմ դիտարկենք քառակուսի հավասարման ընդհանուր տեսքը․
{jatex}ax^2+bx+c=0{/jatex}
Նկատենք, որ {jatex} a \neq 0 \Leftrightarrow 4a \neq 0{/jatex} և հավասարման երկու կողմը բազմապատկենք {jatex}4a{/jatex} թվով։
{jatex}4a^2x^2+4abx+4ac=0{/jatex}
Ձևապոխենք․
{jatex}4a^2x^2+4abx+b^2 + 4ac=b^2{/jatex}
{jatex}\left(2ax+b\right)^2+4ac=b^2{/jatex}
{jatex}\left( 2ax+b \right)^2=b^2-4ac{/jatex}
Այստեղ կատարենք նշանակում՝ {jatex}D=b^2-4ac{/jatex} և այն անվանենք քառակուսի հավասարման տարբերիչ։
Կունենանք․
{jatex}(2ax+b)^2=D{/jatex}
1) {jatex}D>0{/jatex} դեպքում
{jatex}2ax+b= \pm \sqrt D{/jatex}
{jatex}2ax=-b \pm \sqrt D{/jatex}
{jatex}x= \frac {-b \pm \sqrt D}{2a} \quad (a \neq 0 ){/jatex}
{jatex}x_1 = \frac {-b-\sqrt D}{2a} \quad x_2 = \frac {-b + \sqrt D}{2a}{/jatex}
2) {jatex}D=0 {/jatex} դեպքում
{jatex}(2ax+b)^2=0{/jatex}
{jatex}2ax+b=0{/jatex}
{jatex}x=- \frac b{2a}{/jatex}
3) {jatex}D<0{/jatex} դեպքում հավասարումը լուծում չունի։
