Սահմանում։ Կասենք, որ {jatex}A{/jatex} բազմության վրա սահմանված է գործողություն, եթե կամայական {jatex}a, b \in A{/jatex} տարրերին համապատասխանության մեջ է դրվում {jatex}c \in A{/jatex} տարրը։
Գործողության սահմանված լինելը նշանակում է որևէ {jatex}f(a;b){/jatex} ֆունկցիայի գոյություն, որը սահմանված է կամայական {jatex}a, b \in A{/jatex} տարրերի համար։
Աքսիոմ 1 (ինդուկցիայի աքսիոմ)։ Եթե որևէ բազմություն պարունակում է 1 թիվը և յուրաքանչյուր իր պարունակած բնական թվի հետ պարունակում է նրա հաջորդ բնական թիվը, ապա այդ բազմությունը պարունակում է բոլոր բնական թվերը։
Աքսիոմ 2 (Արքիմեդի աքսիոմ)։ Յուրաքանչյուր {jatex}a{/jatex} և {jatex}b{/jatex} բնական թվերի համար գոյություն ունի {jatex}c{/jatex} թիվ, որի համար տեղի ունի {jatex}bc>a{/jatex} անհավասարությունը։
Ընթերցողին է թողնվում ապացուցել հետևյալ պնդումները․
ա) Յուրաքանչյուր ոչ դատարկ բնական թվերի բազմություն ունի փոքրագույն տարր։
բ) Յուրաքանչյուր վերջավոր բնական թվերի բազմություն ունի մեծագույն տարր։
գ) Եթե հայտնի է, որ որոշակի պնդում
ապա այդ պնդումը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։
դ) Եթե հայտնի է, որ որոշակի պնդում
ապա այդ պնդումը ճիշտ է {jatex}k \geq a{/jatex} թվերի համար։
Ապացույցներում վերջին երկու պնդումը և ինդուկցիայի աքսիոմը կանվանենք ինդուկցիայի մեթոդ։
