AC=6 և BC=8 էջերով ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծած է շրջանագիծ։ E-ն և F-ը համապատասխանաբար AC և CB փոքր աղեղների միջնակետերն են, իսկ G-ն՝ C կետը չպարունակող AB աղեղի միջնակետը։

1․ Գտնել ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը։

2․ Գտնել EGF անկյան աստիճանային չափը։

3․ Գտնել {jatex} \sqrt{2}EF{/jatex} արտահայտության արժեքը։

4․ Գտնել EGF եռանկյան մակերեսը։

2 thoughts on “Հարթաչափություն։ Խնդիր 5”

  1. Չորեքշաբթի, Փետրվարի 02, 2022, ժ. 19:38

    ΔABC-ից ըստ Պյութագորասի թեորեմի {jatex}AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10{/jatex}:

    Քանի որ ΔABC-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է {jatex}r_{ABC}=\frac{AC+BC-AB}{2}=2{/jatex}  

    Որպես հավասար աղեղների վրա հենված անկյուններ 

    {jatex}\angle AGE= \angle EGC \overset{նշ}= \alpha{/jatex}

    {jatex}\angle CGF= \angle FGB \overset{նշ}= \beta{/jatex}

    Որպես տրամագծի վրա հենված աղեղ

    {jatex}\angle AGB=90^{\circ}{/jatex}

    {jatex}\angle AGE +\angle EGC +\angle CGF+\angle FGB=90^{\circ}{/jatex}

    {jatex}2 \alpha + 2 \beta =90^{\circ}{/jatex}

    {jatex}\alpha + \beta =45^{\circ}{/jatex}

    {jatex}\angle EGC + \angle CGF =45^{\circ}{/jatex}

    {jatex}\angle EGF =45^{\circ}{/jatex}

    ∠ACB=90°, ուրեմն AB=2RABC=2REGF=10

    Եռանկյուն EGF-ից ըստ սինուսների թեորեմի

    {jatex}\frac{EF}{\sin \angle EGF }=2R_{EGF}=10; \sqrt 2 EF = \sqrt 2 \cdot 10 \cdot \sin 45^{\circ}=10{/jatex}

  2. Չորեքշաբթի, Փետրվարի 02, 2022, ժ. 22:26

    Նկատենք, որ AG և GB փոքր աղեղները իրար հավասար են, իսկ նրանք AB աղեղի կտորներն են, ուրեմն այդ աղեղներից յուրաքանչյուրի աստիճանային չափը կլինի 180°/2=90°, իսկ AG փոքր աղեղի վրա հենված AFG անկյունը կլինի հավասար 90°/2=45°: 

    Որպես նույն աղեղի վրա հենված անկյուններ

    ∠EFA=∠EBA=∠EGA=α, ∠FEB=∠FAB=∠FGB=β,

    ∠EAC=∠EGC=∠EBC=α, ∠CAF=∠CGF=∠CBF=β:

    ∠EFG=∠EGA+∠ABG=α+45°: Նույն ձևով ∠FEG=β+45°: ∠ABC=∠ABE+∠EBA=2α; ∠BAC=∠BAF+∠FAC=2β: Եռանկյուն ABC-ից cos 2α=AC/AB=0,6; 1-2sin2α=0,6; sin α=√0,2:

    2cos2α-1=0,6; cosα=√0,8

    Եռանկյուն ABC-ից cos 2β=AC/AB=0,8; 1-2sin2β=0,8; sin β=√0,1:

    2cos2β-1=0,8; cosα=√0,9

    {jatex}\sin∠EFG=\sin(α+45°)=\sin α \cos45°+\cos α \sin 45°={/jatex}

    {jatex}=\frac{\sqrt 2}{2}\sqrt{0,2}+\frac{\sqrt 2}{2}2\sqrt{0,2}=3 \sqrt {0,1}{/jatex}

    {jatex}\sin∠FEG=\sin (β+45°)=\sin β \cos 45°+\cos β \sin 45°={/jatex}

    {jatex}=\sqrt{0,1} \frac{\sqrt 2}{2}+ 3\sqrt{0,1}\frac{\sqrt 2}{2}=2 \sqrt {0,2}{/jatex}

    Եռանկյուն EGF-ից ըստ սինուսների թեորեմի

    {jatex}\frac{EG}{\sin(\alpha +45° )}=2R_{EFG}=10{/jatex}

    {jatex}EG=10\cdot 3\sqrt{0,1}=3\sqrt{10}{/jatex}

    {jatex}\frac{FG}{\sin (β+45°)}=2R_{EFG}=10{/jatex}

    {jatex}FG=10\cdot 2\sqrt{0,2}=2\sqrt{20}{/jatex}

    {jatex}S_{EFG}= \frac 12 EG \cdot FG \cos 45°=\frac {\sqrt {2}}{4}\cdot 3\sqrt{10}\cdot 2\sqrt{20}=30{/jatex}

    Պատ․՝ 2; 45; 10; 30։

 

Ուղարկել էջը