{jatex}(1+1)^3=1+3+3+1{/jatex}

{jatex}(2+1)^3=2^3+3\cdot 2^2+3 \cdot 2 + 1{/jatex}

{jatex}(3+1)^3=3^3+3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1{/jatex}

{jatex}...{/jatex}

{jatex}(n+1)^3=n^3+3n^3+3n+1{/jatex}

Այս հավասարությունների աջ մասերի գումարը հավասար է ձախ մասերի գումարին

{jatex}\sum_{i=2}^{n+1}i^3=\sum_{i=1}^ni^3+3\sum_{i=1}^ni^2+3\sum_{i=1}^ni+n{/jatex}

Հավասարության երկու կողմից հանենք կրկնվող գումարելիները

{jatex}(n+1)^3=1+3\sum_{i=1}^ni^2+3\sum_{i=1}^ni+n{/jatex}

{jatex}(n+1)^3=1+3\sum_{i=1}^ni^2+{\large \frac {3n(n+1)}2}+n{/jatex}

Ուրեմն

{jatex}3 \sum_{i=1}^ni^2=(n+1)^3-(n+1)-{\large \frac {3n(n+1)}2}={/jatex}

{jatex}=(n+1) \left[ (n+1)^2-1-{\large \frac {3n}2 }\right]={/jatex}

{jatex}=(n+1)\left( n^2 +2n+1-1- 1,5n \right)={/jatex}

{jatex}=(n+1)n(n+0,5)={ \large \frac 12 } n(n+1)(2n+1){/jatex}

Ուրեմն

{jatex}\sum_{i=1}^ni^2= {\large \frac 16} n(n+1)(2n+1){/jatex}

{jatex}(1+1)^4=1+4+6+4+1{/jatex}

{jatex}(2+1)^4=2^4+4\cdot 2^3+6 \cdot 2^2+4 \cdot 2 + 1{/jatex}

{jatex}(3+1)^4=3^4+4 \cdot 3^3 + 6 \cdot 3^2 + 4\cdot 3 + 1{/jatex}

{jatex}...{/jatex}

{jatex}(n+1)^4=n^4 +4 \cdot n ^3+ 6 \cdot n^2+4n+1{/jatex}

Այս հավասարությունների աջ մասերի գումարը հավասար է ձախ մասերի գումարին.

{jatex}\sum_{i=2}^{n+1}i^4=\sum_{i=1}^ni^4+4\sum_{i=1}^ni^3+6\sum_{i=1}^ni^2+4 \sum_{i=1}^ni+1{/jatex}

Հանենք կրկնվող գումարելիները, կատարենք գումարների արժեքների տեղադրում.

{jatex}(n+1)^4=1+4\sum_{i=1}^ni^3+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4 \frac{n(n+1)}{2}+n{/jatex}

 {jatex}(n+1)^4-(n+1)=4\sum_{i=1}^ni^3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1){/jatex}

{jatex}(n+1)\left( (n+1)^3-1\right)=4\sum_{i=1}^ni^3+n(n+1)(2n+3){/jatex}

{jatex}(n+1)\left( n^3+3n^2+3n \right)=4\sum_{i=1}^ni^3+n(n+1)(2n+3){/jatex}

{jatex}n(n+1)\left( n^2+3n+3 \right)=4\sum_{i=1}^ni^3+n(n+1)(2n+3){/jatex}

{jatex}4\sum_{i=1}^ni^3=n(n+1)\left[ n^2+3n+3-2n-3 \right]{/jatex}

{jatex}4\sum_{i=1}^ni^3=n(n+1)\left[ n^2+n \right]{/jatex}

{jatex}\sum_{i=1}^ni^3=\frac {n^2(n+1)^2}{4}{/jatex}

{jatex}(1+1)^5=1+5+10+10+5+1{/jatex}

{jatex}(2+1)^5=2^5+5 \cdot 2^4+ 10 \cdot 2^3 +10 \cdot 2^2+ 5\cdot 2 + 1{/jatex}

{jatex}(3+1)^5=3^5+5\cdot 3^4+10 \cdot 3^3+ 10 \cdot 3^2 +5 \cdot 3 + 1{/jatex}

{jatex}...{/jatex} {jatex}(n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1{/jatex}

Այս հավասարությունների ձախ մասերի գումարը հավասար է աջ մասերի գումարին․

{jatex}\sum_{k=2}^{n+1}k^5=\sum_{k=1}^nk^5+5\sum_{k=1}^nk^4+{/jatex}

{jatex}+10\sum_{k=1}^nk^3+10\sum_{k=1}^nk^2+5\sum_{k=1}^nk+n{/jatex}

Հավասարության երկու կողմից հանենք կրկնվող գումարելիները, կատարենք գումարների արժեքների տեղադրում․

{jatex}(n+1)^5=1+5 \sum_{k=1}^nk^4+ 10 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4}+{/jatex}

{jatex}+10\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+5\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n{/jatex}

{jatex}(n+1)^5=5\sum_{k=1}^nk^4+ (n+1) \left( 1+\frac 52 n^2(n+1) + \frac 53 n(2n+1)+\frac 53 n \right){/jatex}

{jatex}(n+1)^5=5\sum_{k=1}^nk^4+ (n+1)  \left( \frac 52 n^3+ \frac 52 n^2+ \frac{10}3n^2+\frac 53n + \frac 52n+1\right)  {/jatex}

{jatex}(n+1)^5=5 \sum_{k=1}^nk^4+(n+1)\left( \frac 52 n^3 + \frac {35}6n^2+ \frac{25}6n+1 \right){/jatex}

{jatex}5\sum_{k=1}^nk^4=(n+1)\left( (n+1)^4-\frac 52n^3-\frac {35}6n^2-\frac{25}6n-1\right){/jatex}

{jatex}5\sum_{k=1}^nk^4=(n+1)\left( n^4+4n^3+6n^2+4n+1-\frac 52 n^3-\frac{35}6n^2-\frac{25}6n-1 \right){/jatex}

{jatex}5\sum_{k=1}^nk^4=(n+1)\left( n^4+\frac 32n^3+ \frac{n^2}6-\frac n6\right){/jatex}

{jatex}5\sum_{k=1}^nk^4=(n+1)n \frac{6n^3+9n^2+n-1}6{/jatex}

{jatex}5\sum_{k=1}^nk^4=(n+1)n \frac{6n^3+3n^2+6n^2+3n-2n-1}6{/jatex}

{jatex}5\sum_{k=1}^nk^4=(n+1)n (2n+1)\frac{3n^2+3n-1}6{/jatex}

{jatex}\sum_{k=1}^nk^4= \frac 1{30}n(n+1)(2n+1) \left( 3n^2+3n-1 \right){/jatex}

{jatex}(1+1)^6=1+6+15+20+15+6+1{/jatex} {jatex}(2+1)^6=2^6+6\cdot 2^5 +15\cdot 2^4+20\cdot 2^3+15\cdot 2^2+6\cdot 2+1{/jatex} {jatex}...{/jatex} {jatex}(n+1)^6=n^6+6n^5+15n^4+20n^3+15n^2+6n+1{/jatex}

Այս հավասարությունների աջ մասերի գումարը հավասար է ձախ մասերի գումարին։ {jatex}\sum_{k=2}^{n+1}k^6=\sum_{k=1}^nk^6+6\sum_{k=1}^nk^5+15\sum_{k=1}^nk^4+20\sum_{k=1}^nk^3+15\sum_{k=1}^nk^2+6\sum_{k=1}^nk+n{/jatex} {jatex}{/jatex}

Ուրեմն․

{jatex}6\sum_{k=1}^nk^5=(n+1)^6-15\sum_{k=1}^nk^4-20\sum_{k=1}^nk^3-15\sum_{k=1}^nk^2-6\sum_{k=1}^nk-n-1={/jatex}

{jatex}=(n+1)^6-15\cdot \frac{n(n+1)(2n+1\left(3n^2+3n-1 \right)}{30}-20\cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4}-{/jatex}

{jatex}-15\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-6 \cdot \frac{n(n+1)}{2}-(n+1)={/jatex}

{jatex}=(n+1)^6-(n+1)-\frac{n(n+1)(2n+1)\left(3n^2+3n-1 \right) }{2}-{/jatex}

{jatex}-5n^2(n+1)^2-2,5n(n+1)(2n+1)-3(n+1)={/jatex}

{jatex}=(n+1)\left( (n+1)^5-1 \right)-n(n+1) \left[ \frac {(2n+1)\left(3n^2+3n-1\right) }{2}+5n(n+1)+2,5(2n+1)+3 \right]={/jatex}

{jatex}=(n+1)\left( (n+1)^5-1 \right)-n(n+1)\frac{6n^3+19n^2+21n+10}{2}={/jatex}

{jatex}=(n+1)\left[ n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n-n \frac{6n^3+19n^2+21n+10}{2} \right]={/jatex}

{jatex}=(n+1)n[n^4+2n^3+0,5n^2-0,5n]={/jatex}

{jatex}=(n+1)n^2[n^3+2n^2+0,5n-0,5]=(n+1)n^2(n^3+n^2+n^2+n-0,5n-0,5)={/jatex}

{jatex}=(n+1)n^2(n+1)(n^2+n-0,5){/jatex}

Ուրեմն․

{jatex}\sum_{k=1}^nk^5=\frac {n^2(n+1)^2}{4}\cdot\frac{2n^2+2n-1}3{/jatex}

{jatex}3\sum_{k=1}^nk^5=\left( \sum_{k=1}^nk^3 \right) \cdot (2n^2+2n-1){/jatex}

Ուրեմն պնդումը տեղի ունի, քանի որ {jatex}2n^2+2n-1{/jatex}-ը ամբողջ թիվ է։

Այն, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։