Արքիմեդի խնդիրը։ Գտեք առաջին n բնական թվերի քառակուսիների գումարը։

Գևորգյան, Հանրահաշիվ 9 դաս․, խնդիր 1009։

Լուծում։

Գտնենք  {jatex}\sum_{i=1}^{n}i^2{/jatex} գումարը։

{jatex}(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1{/jatex} բանաձևը կիրառենք {jatex}k=1; 2; 3; ...; n{/jatex} թվերի համար։

{jatex}2^3=1^3+3 \cdot1^2+3 \cdot 1+1{/jatex}

{jatex}3^3=2^3+3 \cdot 2^2+3\cdot 2+1{/jatex}

...

{jatex}(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1{/jatex}

Այս հավասարություններում ձախ մասերի գումարը հավասար է աջ մասերի գումարին։

{jatex}\sum_{i=2}^{n+1}i^3=\sum_{i=1}^{n}i^3 + 3 \sum_{i=1}^{n}i^2+3\sum_{i=1}^{n}i+n{/jatex}

Հավասարության երկու կողմից հանենք նույն գումարելիները․

{jatex}(n+1)^3=1^3+3 \sum_{i=1}^{n}i^2 +\frac{3n(n+1)}{2}+n{/jatex}

{jatex}3 \sum_{i=1}^{n}i^2 =(n+1)^3-(n+1)-\frac{3n(n+1)}{2}{/jatex}

{jatex}3 \sum_{i=1}^{n}i^2 =(n+1)\left( (n+1)^2-1-1,5n \right){/jatex}

{jatex}3 \sum_{i=1}^{n}i^2 =(n+1) \left( n^2+2n-1,5n \right){/jatex}

{jatex}3 \sum_{i=1}^{n}i^2 =n(n+1)(n+0,5){/jatex}

{jatex} \sum_{i=1}^{n}i^2 =\frac 13 n(n+1)\cdot \frac{2n+1}2{/jatex}

{jatex} \sum_{i=1}^{n}i^2 =\frac 16 n(n+1)(2n+1){/jatex}

 {jatex}1^2+2^2+3^2+... +n^2 =\frac 16 n(n+1)(2n+1){/jatex}