{jatex}9^x+4^x=12^x+1{/jatex}

{jatex}9^x-1=12^x-4^x{/jatex}

{jatex} \left( 3^x \right)^2-1^2=3^x \cdot 4^x-4^x{/jatex}

{jatex} \left( 3^x -1 \right) \left( 3^x+1 \right)=4^x \left( 3^x -1 \right){/jatex}

{jatex} \left( 3^x -1 \right) \left( 3^x+1 \right)-4^x \left( 3^x -1 \right)=0{/jatex}

{jatex} \left( 3^x -1 \right) \left( 3^x+1 -4^x \right)=0{/jatex}

Արտադրիչների 0 դառնալու դեպքերը դիտարկենք առանձին․

1․ {jatex}3^x-1=0{/jatex}

{jatex}3^x=1{/jatex}

{jatex}x=0{/jatex}

2. {jatex}3^x+1-4^x=0{/jatex}

{jatex}4^x-3^x=1{/jatex}

Նկատենք, որ այն բացասական լուծում ունենալ չի կարող, քանի որ {jatex}x<0{/jatex} դեպքում {jatex}4^x<1; 4^x-3^x<1{/jatex}

Ոչ բացասական լուծումները գտնելու համար դիտարկենք {jatex}y=4^x-3^x ; [0;+ \infty ){/jatex} ֆունկցիան։

{jatex}y'=4^x \ln4 - 3^x \ln 3 > 4^x \ln4 -3^x \ln 4 = (4^x-3^x ) \ln 4 \geq 0{/jatex}

{jatex}y'>0{/jatex}

Ուրեմն ֆունկցիան աճող է՝ այն 1 արժեքը կարող է ընդունել առավելագույնը մեկ կետում, իսկ y(x)=1 հավասարումը կարող է ունենալ առավելագույնը մեկ լուծում։

{jatex}y(1)=4^1-3^1=1{/jatex}, ուրեմն 1-ը երկրորդ հավասարման միակ լուծումն է։

Միավորելով երկու դեպքերը, կունենանք՝ x=0 կամ x=1:

Պատ․՝ 0; 1։

{jatex}\large 2^{3x}+8\cdot 2^x -6 \cdot 2^{2x}=0{/jatex}

Ապացուցել, որ 20¹⁵-1 թիվը բաժանվում է

ա) 11-ի,

բ) 31-ի,

գ) 61-ի։

Ապացուցել, որ 2⁷⁰+3⁷⁰ թիվը բաժանվում է 13-ի։

{jatex}a, b, c{/jatex} դրական թվերի համար ապացուցել անհավասարությունը․

{jatex}\Large \frac{a+b}{a^2+b^2}+ \frac {b+c}{b^2+c^2}+ \frac {a+c}{a^2+c^2} \leq \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c{/jatex}

Գտնել հետևյալ արտահայտության՝ 19-ի վրա բաժանվելու մնացորդը․

{jatex}\huge 2^{2^{6k+2}}; \quad k=0; 1; 2; ...{/jatex}

• Թվերի տեսություն

Ցույց տալ, որ  {jatex}\frac{m^3+5m}{6}{/jatex} արտահայտությունը ամբողջ թիվ է, որտեղ {jatex}m \in Z{/jatex}։

• Թվերի տեսություն

Ապացուցել, որ {jatex}n{/jatex} թվի բնական լինելու դեպքում {jatex}3^{3n+3}-26n-27{/jatex} թիվը բաժանվում է 169-ի։

• Թվերի տեսություն

Օգտվելով այն փաստից, որ 1000+1-ը բաժանվում է 13-ի, ստանալ 13-ի բաժանման հայտանիշ։