{jatex}0<q<1; p=\frac 1q -1{/jatex} պայմանի դեպքում, համաձայն երկրաչափական պրոգրեսիայի բանաձևի, կունենանք․

{jatex}1+q+q^2+...+q^n= \frac{q^{n+1}-1}{q-1}{/jatex}

Ածանցենք հավասարության երկու կողմը։

{jatex}1+2q+...+nq^{n-1}=\frac{(n+1)q^n(q-1)-\left( q^{n+1}-1 \right)}{(q-1)^2}{/jatex}

Հավասարման երկու կողմը բազմապատկենք {jatex}q{/jatex}-ով։

{jatex}q+2q^2+...+nq^n=\frac{(n+1)q^{n+1}(q-1)-q\left( q^{n+1}-1 \right)}{(q-1)^2}{/jatex}

Նկատենք, որ {jatex}\frac 1q >1; \quad p=\frac 1q -1 >0{/jatex}

{jatex}q+2q^2+...+nq^n=\frac{1}{q-1}\cdot \frac{n+1}{(p+1)^{n+1}}+\frac{q(1-q^{n+1})}{(1-q)^2}{/jatex}

Հաշվի առնելով Նյուտոնի երկանդամի բանաձևը, կունենանք {jatex}(p+1)^{n+1}>\frac 12 \cdot (n+1)n p^2{/jatex}

Հավասարության մեջ {jatex}n{/jatex}-ը ձգտեցնելով անվերջության, կունենանք․

{jatex}q+2q^2+3q^3+...=\frac q{(1-q)^2}{/jatex}

Մասնավորապես տեղադրելով {jatex}q=\frac 12{/jatex}, կունենանք․

{jatex}\frac 12 + \frac 2{2^2}+\frac{3}{2^3}+...=\frac {0,5}{(1-0,5)^2}=2{/jatex}