Ապացուցել անհավասարությունը․

{jatex}{\large \frac {x^2}{y} + \frac {y^2}{z}} \geq 4(x-z); \quad x,y,z>0{/jatex}

Հատնի է, որ {jatex}a; b; c{/jatex} բնական թվերը բավարարում են {jatex}a^2+b^2=c^2{/jatex} պայմանին։ Ապացուցել, որ {jatex}a b c{/jatex} արտադրյալը բաժանվում է 60-ի։

Հաշվել արտահայտության արժեքը, եթե {jatex}\large x+ \frac 1x= 10{/jatex}.

{jatex}\large x^2+ \frac 1{x^2}{/jatex}:

{jatex}\large x^2+ \frac 1{x^2}= x^2 + 2 x \cdot \frac 1x + \frac 1{x^2}-2= \left( x+ \frac 1x \right)^2-2= 10^2-2=98{/jatex}

Պատասխան՝ 98։

1․ Որոշել ո՞ր բնական կենտ {jatex}n{/jatex} թվերի համար {jatex}3^n +1{/jatex} թիվը բաժանվում է {jatex}n{/jatex}-ի։

2․ Ապացուցել, որ ցանկացած {jatex}a>1{/jatex} բնական թվի համար կան անվերջ քանակով {jatex}n{/jatex} բնական թվեր, որոնց համար {jatex}a^n +1{/jatex} թիվը բաժանվում է {jatex}n{/jatex}-ի։

3․ Ապացուցել, որ կան անվերջ քանակով {jatex}n{/jatex} բնական թվեր, որոնց համար {jatex}2^n+2{/jatex} թիվը բաժանվում է {jatex}n{/jatex}-ի։

Լուծել անհավասարումը․

{jatex}\large \sqrt {5-4x} \cdot \log_{\sqrt 2 - 1}(2x-1) \geq 0{/jatex}

Հաշվեք {jatex}\large \frac 1{1+x+xy}+ \frac 1{1+y+yz}+ \frac 1{1+z+zx}{/jatex} արտահայտության արժեքը {jatex}xyz=1{/jatex} պայմանի դեպքում։

• Շտեմարան-2009

{jatex}a^4+a^2+1{/jatex}

Գտնել բոլոր {jatex}n>1{/jatex} բնական թվերը, որոնց համար {jatex}1^n+2^n+...+(n-1)^n{/jatex} թիվը բաժանվում է {jatex}n{/jatex}-ի։

{jatex}\large \frac {x^3+x^2-4x-4}{x^3+6x^2+5x-12}>0{/jatex}

{jatex}\large \frac {x^2(x+1)-4(x+1)}{x^3-x^2+7x^2-7x+12x-12} >0{/jatex}

{jatex}\large \frac {(x+1) \left( x^2 -4 \right) }{x^2(x-1)+7x(x-1)+12(x-1)} >0{/jatex}

{jatex}\large \frac {(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)\left(x^2+7x+12 \right)} >0{/jatex}

Վերլուծենք արտադրիչների

{jatex}x^2+7x+12{/jatex}

{jatex}x^2+7x+12=0{/jatex}

{jatex}D=7^2-4 \cdot 12=1{/jatex}

{jatex}\large x_1= \frac {-7-1}{2}=-4 \quad x_2 = \frac {-7+1}{2} = -3{/jatex}

Ըստ Վիետի թեորեմի

{jatex}x^2+7x+12=(x+3)(x+4){/jatex}

Տեղադրենք

{jatex}\large \frac {(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+3)(x+4)} >0{/jatex}

{jatex}x \in ( - \infty ; -4) \cup (-3;-2) \cup (-1; 1) \cup ( 2 ; + \infty ){/jatex}

Պատ․՝ {jatex}( - \infty ; -4) \cup (-3;-2) \cup (-1; 1) \cup ( 2 ; + \infty ){/jatex}։