1․ Որոշել ո՞ր բնական կենտ {jatex}n{/jatex} թվերի համար {jatex}3^n +1{/jatex} թիվը բաժանվում է {jatex}n{/jatex}-ի։

2․ Ապացուցել, որ ցանկացած {jatex}a>1{/jatex} բնական թվի համար կան անվերջ քանակով {jatex}n{/jatex} բնական թվեր, որոնց համար {jatex}a^n +1{/jatex} թիվը բաժանվում է {jatex}n{/jatex}-ի։

3․ Ապացուցել, որ կան անվերջ քանակով {jatex}n{/jatex} բնական թվեր, որոնց համար {jatex}2^n+2{/jatex} թիվը բաժանվում է {jatex}n{/jatex}-ի։

Լուծել անհավասարումը․

{jatex}\large \sqrt {5-4x} \cdot \log_{\sqrt 2 - 1}(2x-1) \geq 0{/jatex}

Հաշվեք {jatex}\large \frac 1{1+x+xy}+ \frac 1{1+y+yz}+ \frac 1{1+z+zx}{/jatex} արտահայտության արժեքը {jatex}xyz=1{/jatex} պայմանի դեպքում։

• Շտեմարան-2009

{jatex}a^4+a^2+1{/jatex}

Գտնել բոլոր {jatex}n>1{/jatex} բնական թվերը, որոնց համար {jatex}1^n+2^n+...+(n-1)^n{/jatex} թիվը բաժանվում է {jatex}n{/jatex}-ի։

{jatex}\large \frac {x^3+x^2-4x-4}{x^3+6x^2+5x-12}>0{/jatex}

{jatex}\large \frac {x^2(x+1)-4(x+1)}{x^3-x^2+7x^2-7x+12x-12} >0{/jatex}

{jatex}\large \frac {(x+1) \left( x^2 -4 \right) }{x^2(x-1)+7x(x-1)+12(x-1)} >0{/jatex}

{jatex}\large \frac {(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)\left(x^2+7x+12 \right)} >0{/jatex}

Վերլուծենք արտադրիչների

{jatex}x^2+7x+12{/jatex}

{jatex}x^2+7x+12=0{/jatex}

{jatex}D=7^2-4 \cdot 12=1{/jatex}

{jatex}\large x_1= \frac {-7-1}{2}=-4 \quad x_2 = \frac {-7+1}{2} = -3{/jatex}

Ըստ Վիետի թեորեմի

{jatex}x^2+7x+12=(x+3)(x+4){/jatex}

Տեղադրենք

{jatex}\large \frac {(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+3)(x+4)} >0{/jatex}

{jatex}x \in ( - \infty ; -4) \cup (-3;-2) \cup (-1; 1) \cup ( 2 ; + \infty ){/jatex}

Պատ․՝ {jatex}( - \infty ; -4) \cup (-3;-2) \cup (-1; 1) \cup ( 2 ; + \infty ){/jatex}։

Ապացուցել, որ {jatex}n \in N{/jatex} թվերի համար {jatex}1^5+2^5+...+n^5{/jatex} թվի եռապատիկը բաժանվում է {jatex}1^3+2^3+...+n^3{/jatex} թվի վրա։

{jatex}9^x+4^x=12^x+1{/jatex}

{jatex}9^x-1=12^x-4^x{/jatex}

{jatex} \left( 3^x \right)^2-1^2=3^x \cdot 4^x-4^x{/jatex}

{jatex} \left( 3^x -1 \right) \left( 3^x+1 \right)=4^x \left( 3^x -1 \right){/jatex}

{jatex} \left( 3^x -1 \right) \left( 3^x+1 \right)-4^x \left( 3^x -1 \right)=0{/jatex}

{jatex} \left( 3^x -1 \right) \left( 3^x+1 -4^x \right)=0{/jatex}

Արտադրիչների 0 դառնալու դեպքերը դիտարկենք առանձին․

1․ {jatex}3^x-1=0{/jatex}

{jatex}3^x=1{/jatex}

{jatex}x=0{/jatex}

2. {jatex}3^x+1-4^x=0{/jatex}

{jatex}4^x-3^x=1{/jatex}

Նկատենք, որ այն բացասական լուծում ունենալ չի կարող, քանի որ {jatex}x<0{/jatex} դեպքում {jatex}4^x<1; 4^x-3^x<1{/jatex}

Ոչ բացասական լուծումները գտնելու համար դիտարկենք {jatex}y=4^x-3^x ; [0;+ \infty ){/jatex} ֆունկցիան։

{jatex}y'=4^x \ln4 - 3^x \ln 3 > 4^x \ln4 -3^x \ln 4 = (4^x-3^x ) \ln 4 \geq 0{/jatex}

{jatex}y'>0{/jatex}

Ուրեմն ֆունկցիան աճող է՝ այն 1 արժեքը կարող է ընդունել առավելագույնը մեկ կետում, իսկ y(x)=1 հավասարումը կարող է ունենալ առավելագույնը մեկ լուծում։

{jatex}y(1)=4^1-3^1=1{/jatex}, ուրեմն 1-ը երկրորդ հավասարման միակ լուծումն է։

Միավորելով երկու դեպքերը, կունենանք՝ x=0 կամ x=1:

Պատ․՝ 0; 1։

{jatex}\large 2^{3x}+8\cdot 2^x -6 \cdot 2^{2x}=0{/jatex}